El pasado viernes 20 de Julio finalizó la Escuela Lluís Santaló 2012 “Recent Advances in Real Complexity and Computation”. El leit motiv de la Escuela era la reciente resolución del Problema 17 de la lista de Smale para los Problemas del siglo XXI en una serie de trabajos conjuntos (2008, 2009 y 2011) elaborados por los profesores Luis Miguel Pardo (director de la Escuela) y Carlos Beltrán (conferenciante invitado).
El objetivo de la Escuela, en el plano científico, era, por tanto, establecer las nuevas tendencias de este ámbito de investigación. Para ello se invitó a algunos de los principales investigadores especialistas en este ámbito científico. La Escuela ha sido, también, un homenaje al amigo y colega, recientemente desaparecido, Jean-Pierre Dedieu (1950-2012), quien estaba previsto que participara entre los conferenciantes invitados. El alto nivel científico de la Escuela permitió desarrollar algunas nuevas tendencias y nuevos retos científicos a lo largo de las conferencias impartidas por los profesores invitados, así como en la sesión final sobre Open Problems. Todo el material, incluidas las transparencias de las charlas y las notas que los profesores invitados aportaron, se encuentran en la página web de la Escuela, http://santalo2012.unican.es.
A continuación se incluye un breve resumen de las distintas contribuciones.
C. Beltrán, en su serie de tres conferencias “Stability, precision and complexity in some numerical problems”, expuso brillantemente la resolución del Problema 17 de Smale, trabajo conjunto con el profesor Luis M. Pardo, y algunos nuevos problemas abiertos, insistiendo en los nuevos retos del diseño de algoritmos deterministas de complejidad en promedio tratable.
M. Giusti, en su serie de dos conferencias “Polar, co-polar and bipolar varieties: real solving of algebraic varieties with intrinsic complexity”, expuso un muy elaborado recorrido por las metodologías simbólicas para la resolución real de sistemas de ecuaciones polinomiales a través del uso de transformaciones en variedades polares, duales, bipolares y co-polares. Se trata de una serie de trabajos escritos en colaboración con B. Bank, J. Heintz, L. Lehmann, G. Mbakop y L. M. Pardo.
J. Heintz, en su serie de dos conferencias de tres horas “On the intrinsic complexity of elimination problems in effective algebraic geometry”, expuso espléndidos resultados nuevos de complejidad. Esencialmente, probó que, con las hipótesis de algoritmos naturalmente modelizados mediante técnicas de Ingeniería de Software y con la hipótesis de continuidad (robustez geométrica) todo algoritmo de Eliminación debe requerir tiempo exponencial y que el algoritmo Kronecker, desarrollado a mediados de los noventa en colaboración con M. Giusti, L. M. Pardo y colaboradores de ambos, es esencialmente óptimo e inmejorable. La cota inferior obtenida abre nuevas preguntas en diversas direcciones que también fueron enunciadas. Se trata de trabajos recientes en colaboración con A. Rojas y K. Kuijpers.
G. Malajovich, en su serie de tres conferencias “From the quadratic convergence of Newton's method to problems of counting of the number of solutions”, expuso nuevas pruebas elementales de los fundamentos de la convergencia del operador de Newton (Teoremas α y γ, así como el condicionamiento μ) para, después, mostrar algoritmos de conteo de soluciones reales de sistemas de ecuaciones no lineales con coeficientes reales. Los resultados de conteo han sido recientemente obtenidos en colaboración con F. Cucker, T. Krick y M. Wschebor.
K. Meer, en su serie de tres conferencias ”Real Number Complexity Theory and Probabilistically Checkable Proofs (PCPs)”, expuso un intenso resumen de los principales resultados en torno a la Conjetura de Cook en el modelo Blum-Shub-Smale, así como una revisión de la prueba de Arora et al. sobre el PCP Theorem y, ya en su última charla, un brillante resultado muy reciente, obtenido con su colaborador M. Baartse, en la completa traslación de las ideas de la prueba de Irit Dinur para obtener un PCP-Theorem sobre los reales y los complejos, con los mismos recursos de aleatoriedad y acceso constante a las pruebas.
M. Shub, en su serie de dos conferencias “The geometry of condition and the analysis of algorithms” expuso un resumen de las ideas subyacentes a dos secuencias de trabajos recientes. De una parte, al comportamiento del condicionamiento lineal sobre las geodésicas en la esfera de matrices cuadradas con la métrica Riemanniana llamada del condicionamiento (trabajos en colaboración con C. Beltrán, J.P. Dedieu y G. Malajovich) y que fue un homenaje a su amigo J.P. Dedieu. De otra parte, dedicó su charla a los resultados recientes obtenidos con D. Armentano, volviendo a los inicios de su célebre secuencia de trabajos con S. Smale, conocida como la Bézout series, que va desde 1985 a 1995. Como es habitual en el profesor Shub, a lo largo de sus charlas, expuso algunos aspectos (problemas abiertos) que, en su opinión, deben ser analizados en futuras investigaciones sobre el tema.
J.C. Yakoubsohn, en su conferencia “Tracking Multiplicities”, expuso algunas nuevas técnicas sobre el tratamiento de singularidades con operadores numéricos (tipo Newton) e hizo una revisión de sus trabajos previos en colaboración con M. Giusti, G. Lecerf y B. Salvy.
L. M. Pardo, en su sesión “Open Problems”, resumió las brillantes intervenciones de los conferenciantes invitados y, con colaboración con todos ellos, estableció una selección de problemas abiertos que, previsiblemente, marcarán las futuras tendencias de la investigación en estos ámbitos.
En el siguiente enlace pueden leerse las declaraciones de algunos de los participantes en la Escuela en relación con la situación de la ciencia en España:
http://www.uimp.es/blogs/prensa/2012/07/19/…
Grupo de profesores y alumnos de la Escuela Lluís Santaló: Heintz, Campillo, Pardo, Yakoubsohn, Montaña, Meer y Shub (abajo), Giusti (centro izquierda) y Beltran y Malajovich (arriba derecha)
Jean-Pierre Dedieu
De izquierda a derecha: Pardo, Shub, Giusti y Campillo
