La American Mathematical Society (AMS) otorga el Premio Steele 2023 a la Trayectoria a Nicholas M. Katz, de la Universidad de Princeton, por sus contribuciones históricas a la teoría de números y la geometría aritmética.
Los artículos y monografías de Katz han beneficiado a la comunidad matemática al abrir nuevas direcciones de investigación e iluminar grandes áreas de las matemáticas. Sus obras más conocidas incluyen su largo artículo sobre formas modulares l-ádicas; su volumen Astérisque sobre sumas exponenciales; el volumen de Annals of Mathematics Studies sobre módulos de curvas elípticas de Katz y Mazur; y el volumen de AMS Random matrices, Frobenius eigenvalues, and monodromy de Katz y Sarnak.
Un tema continuo en el trabajo de Katz es su innovador e influyente estudio de la conexión entre sumas exponenciales y haces l-adicos lisos en curvas abiertas sobre cuerpos finitos. Al ver tales sumas como trazas de Frobenius en los puntos cerrados de la curva y aplicar los resultados fundamentales de Deligne, obtuvo resultados de distribución poderosos para sumas exponenciales a través de un estudio de los grupos monodrómicos globales de los haces.
A lo largo de su carrera, Katz ha sido generoso al compartir su entusiasmo y sus profundos conocimientos con estudiantes y colegas de todos los niveles. Su mentoría de generaciones de matemáticos ha sido de un valor inestimable.
Lawrence C. Evans, profesor emérito de la Universidad de California, Berkeley, ha recibido el Premio Leroy P. Steele de Exposición Matemática por su libro Ecuaciones diferenciales parciales, publicado por la American Mathematical Society, Providence, RI, 1998 (primera edición) y 2010 (segunda edición).
“Este texto sin igual se ha convertido en la principal referencia para todos los estudiantes de posgrado en el campo y para muchos expertos”, señala la mención del premio. “Logra la tarea casi imposible de dar coherencia a la muy extensa teoría clásica y moderna de ecuaciones diferenciales parciales lineales y no lineales, a través de una selección magistral del material”. “Es un placer leerlo, combina información y descripciones técnicas claras en un estilo atractivo y económico, lo que hace que un área compleja sea accesible para numerosos investigadores jóvenes y establecidos”, se lee en la cita.
La AMS otorga el Premio Steele 2023 por Contribución Seminal a la Investigación a Peter B. Kronheimer de la Universidad de Harvard y a Tomasz S. Mrowka del Instituto de Tecnología de Massachusetts, por su artículo “Gauge theory for embedded surfaces I”, publicado en 1993 en Topology 32, 773–826.
Este documento introdujo nuevas nociones y desarrolló una tecnología nueva y sofisticada que ha desempeñado y continúa desempeñando un papel central en la teoría de gauge y la topología de baja dimensión. La primera aplicación de los nuevos métodos (dada en el documento citado) fue resolver una conjetura de Milnor de hace 25 años sobre la minimalidad del género de superficies algebraicas entre todas las superficies incrustadas en la bola de dimensión cuatro con la misma curva de frontera en las esferas tridimensional. Esto marca el punto de partida de un largo desarrollo que ha revolucionado nuestra comprensión del género en las bolas de dimensión cuatro (para un ejemplo reciente, véase la prueba de Piccirillo de que el nudo de Conway no limita un disco). El argumento de Kronheimer- Mrowka es consecuencia de una desigualdad de adjunción general obtenida en el artículo.
Dos años después de la publicación del artículo citado, Kronheimer y Mrowka utilizaron la misma tecnología de instantones singulares para describir la estructura de las misteriosas invariantes de Donaldson para cuatro variedades cerradas, en términos de un número finito de clases de cohomología «básicas» de grado dos. Este teorema de estructura llevó a Edward Witten a su relación conjetural entre las invariantes de Seiberg-Witten y las invariantes de Donaldson.
Más tarde, Kronheimer y Mrowka definieron una nueva versión de la homología de Floer para nudos, nuevamente basada en instantones singulares. Usando eso, demostraron que la homología de Khovanov (definida puramente algebraicamente) detecta si un nudo es trivial. Esto condujo a un florecimiento de tales resultados de detección; por ejemplo, los resultados de Baldwin y Sivek en relación con el nudo del trébol. Los autores, así como muchos otros investigadores, continúan desarrollando las ideas del artículo citado para definir nuevos invariantes en la topología de baja dimensión, y el tema ha crecido para incluir relaciones con una amplia gama de temas (como la teoría de haces, en trabajo reciente de Côté y Manolescu).
