El 22 de marzo se anunció en Oslo la concesión del Premio Abel 2023 a Luis A. Caffarelli (Buenos Aires, Argentina, 1948) por sus “por sus contribuciones fundamentales a la teoría de la regularidad para ecuaciones diferenciales parciales no lineales, incluidos los problemas de frontera libre y la ecuación de Monge-Ampère”.
Reproducimos a continuación algunos fragmentos de la mención del Premio Abel 2023:
“Las ecuaciones en derivadas parciales surgen naturalmente como leyes de la naturaleza, desde la descripción del flujo de agua al crecimiento de las poblaciones. Estas ecuaciones han sido objeto constante de intenso estudio desde los días de Newton y Leibniz. Sin embargo, a pesar de los esfuerzos sustanciales de los matemáticos durante siglos, las cuestiones fundamentales relacionadas con la estabilidad o incluso la unicidad y la aparición y el tipo de singularidades de algunas ecuaciones clave siguen sin resolverse.
A lo largo de más de 40 años, Luis Caffarelli ha realizado contribuciones pioneras para descartar o caracterizar singularidades. Esto se conoce con el nombre de teoría de la regularidad y captura características cualitativas clave de las soluciones más allá de la configuración analítica funcional original. […] Los teoremas de Caffarelli han cambiado radicalmente nuestra comprensión de clases de ecuaciones en derivadas parciales no lineales con amplias aplicaciones. Los resultados van al meollo de la cuestión, las técnicas muestran al mismo tiempo virtuosismo y sencillez, y cubren muy diferentes áreas de las matemáticas y sus aplicaciones.
Una gran parte del trabajo de Caffarelli se refiere a los llamados problemas de frontera libre. Por ejemplo, el problema del hielo que se derrite en agua. Aquí la frontera libre es la interfaz entre el agua y el hielo; es otra incógnita del problema, es decir, parte de lo desconocido que ha de ser determinado. Otro ejemplo lo proporciona el agua que se filtra a través de un medio poroso: nuevamente se debe entender la interfaz entre la parte saturada y no saturada del medio.
Una clase particular de problemas de frontera libre se denominan problemas de obstáculo. Un ejemplo es un globo que presiona una pared o un cuerpo elástico que descansa sobre una superficie. Caffarelli ha brindado soluciones penetrantes a estos problemas con aplicaciones a interfaces sólido-líquido, flujos de chorro y cavitación, y flujos de gas y líquido en un medio poroso, así como matemáticas financieras. Los resultados de regularidad de Caffarelli se basan en ampliar sucesivamente la zona próxima a la frontera libre y clasificar las ampliaciones resultantes, donde las ampliaciones no genéricas corresponden a singularidades de la frontera libre.
Las ecuaciones incompresibles de Navier-Stokes modelan el flujo de fluidos, como el agua. La regularidad de las soluciones de estas ecuaciones en tres dimensiones es uno de los Problemas del Milenio del Instituto Clay de Matemáticas. En 1983, basándose en el trabajo previo de Scheffer, Caffarelli, junto con Kohn y Nirenberg, demostró que los conjuntos de singularidades de soluciones débiles adecuadas no pueden contener una curva, es decir, tienen que ser muy “pequeños”. El concepto de pequeñez es debidamente precisado.
Los teoremas de regularidad de Caffarelli de la década de 1990 representaron un gran avance en nuestra comprensión de la ecuación de Monge-Ampère, una ecuación diferencial parcial por excelencia altamente no lineal que, por ejemplo, se utiliza para construir superficies de curvatura gaussiana prescrita. Alexandrov estableció importantes resultados de existencia. Caffarelli, en colaboración con Nirenberg y Spruck y con contribuciones clave adicionales de Evans y Krylov, estableció propiedades esenciales de las soluciones. Más tarde, Caffarelli, cerró la brecha en nuestra comprensión de las singularidades al demostrar que los ejemplos explícitamente conocidos de soluciones singulares son los únicos.
Caffarelli, junto con sus colaboradores, ha aplicado estos resultados al problema de transporte masivo óptimo de Monge-Kantorovich, basándose en trabajos anteriores de Brenier. Caffarelli y Vasseur dieron resultados profundos de regularidad para la ecuación cuasi-geostrófica en parte aplicando el artículo excepcionalmente influyente de Caffarelli y Silvestre sobre el Laplaciano fraccional.
Además, Caffarelli ha realizado contribuciones seminales a la teoría de la homogeneización, donde se busca caracterizar el comportamiento efectivo o macroscópico de medios que tienen una microestructura, por ejemplo, porque están formados por un material compuesto. Un problema típico se refiere a un medio poroso, como un yacimiento de hidrocarburos, donde se tiene una roca sólida con poros, que presenta una estructura compleja y, en gran medida, desconocida a través de la cual fluyen los fluidos.
Caffarelli es un matemático excepcionalmente prolífico con más de 130 colaboradores y más de 30 estudiantes de doctorado durante un período de 50 años. Combinando una visión geométrica brillante con herramientas y métodos analíticos in-geniosos, ha tenido y continúa teniendo un enorme impacto en el campo.”
En la página web del Premio Abel pueden leerse el anuncio y mención originales, una biografía del premiado, escuchar en vídeo la reacción de Caffarelli y leer diversos materiales divulgativos acerca del trabajo de Luis A. Caffarelli preparados por Arne B. Sletsjøe (Mathematics of mathematical models, The obstacle problem, Free boundary problems) y Allex Bello (A glimpse of the Lauraete’s work).
