La proximidad de la Navidad y su sorteo extraordinario de la Lotería Nacional hace aflorar cada año un rosario de noticias sobre las posibilidades de ganar el Gordo o, al menos, algún reintegro. Sus protagonistas llegan a ser incluso profesores y profesoras de Matemáticas, como una docente estadounidense que habría ganado hasta 28 veces una lotería en Texas y obtenido más de 20 millones de dólares en premios. Conscientes del interés y la curiosidad general que suscita este juego, hemos querido despejar con el profesor Adolfo Quirós, autor del desafío matemático anual de la Lotería de Navidad en el diario El País, algunas cuestiones básicas a este respecto.

Pregunta.- ¿Es realmente posible ganar tantas veces la lotería? ¿Cómo?

Adolfo Quirós.- Sí es posible, y el procedimiento se puede resumir en dos palabras: jugar mucho. Eso es precisamente lo que hizo la persona de la que habla la “noticia”, Joan Ginther, quien, según el artículo que se menciona de The Philadelphia Inquirer, había invertido cerca de 3 millones de dólares para ganar los 20,4 millones de sus diversos premios. Un retorno de 6,8 dólares por dólar invertido, que no está nada mal, pero suena mucho menos impresionante que la cifra total (el gordo de Navidad, que cada año ganan varias decenas de personas, paga 20000 euros por euro, aunque hay que descontar el IRPF).

Hay que tomar además en cuenta la estructura del sorteo que, aunque la “noticia” lo llame lotería, e incluso enlace a una pieza sobre la de Navidad, no tiene nada que ver con esta. Se trata de un sorteo tipo “rasca y gana”, que no es estrictamente aleatorio -como sí lo es el de Navidad- y se puede usar información adicional, disponible públicamente, para jugar en el momento y lugar oportuno de modo que las posibilidades de éxito aumenten. Algo de esto se apunta en la pieza original de Harper’s Magazine, donde Nathaniel Rich cuenta la historia y sugiere algunas posibles explicaciones para tanta suerte. Un artículo reciente de Skip Garibaldi en The College Mathematics Journal, hace un análisis más preciso.

P.- ¿Hay otros ejemplos de personas que han sido noticia por su capacidad para ganar sorteos?

A. Q.- Desde luego no es el primer caso de “suerte excepcional” (sin tener en cuenta la mucha fortuna del presidente de alguna Diputación Provincial española). En 2005 un estudiante de grado del MIT, James Harvey, descubrió que un error de diseño en uno de los juegos de lotería organizados por el Estado de Massachusetts, llamado Cash WinFall, hacía que en determinados momentos la ganancia esperada jugando un billete era mayor que su precio, con lo que valía la pena jugar. Pero seguía siendo un juego de azar, y garantizar la ganancia requería un cierto desembolso. Harvey y su colega Yuran Lu crearon una empresa, buscaron inversores y se estima que, a lo largo de siete años, obtuvieron un beneficio neto de 3,5 millones de dólares (para un sorteo concreto llegaron a comprar 700.000 billetes de esta lotería, a 2 dólares cada uno). Se puede leer algún detalle más, incluyendo un enlace al informe oficial donde el Inspector General de Massachusetts analizó el asunto, en la revista de los antiguos alumnos del MIT.

No puedo dejar de explicar por qué he dicho por dos veces “noticia”, entre comillas. El artículo de Harper’s Magazine es de 2011, The Philadelphia Inquirer analizó el asunto en 2014, el diario argentino Clarín se hizo eco en 2021, La Vanguardia en abril de 2023, Antena 3 y 20 Minutos en octubre de 2023 (todo esto se encuentra con una búsqueda rápida en la red), ahora El Español lo vuelve a dar como noticia… Todos los medios en castellano citados mencionan a The Philadelphia Inquirer como fuente, pero ninguno dice que lo publicó en 2014. ¿Sigue siendo “noticia” algo tan añejo?

P.- ¿Se puede aplicar algún algoritmo o sistema de cálculo para que comprar Lotería de Navidad sea rentable?

A.Q.- Rotundamente no. La Lotería de Navidad, a pesar de ser uno de los juegos de azar más generosos, reparte en premios el 70% de lo que cuestan todos los números. Como además es totalmente aleatorio, equitativo, sencillo y transparente, no existen “oportunidades de negocio” (no sé si se podrían llamar técnicamente oportunidades de arbitraje) como las que hemos mencionado para el rasca y gana de Texas o el Cash WinFall de Massachusetts. En resumen: por cada 10 euros invertidos en Lotería de Navidad, uno debe esperar recuperar 7 y perder 3. Lo que no quita para que yo juegue con mi familia y mis colegas de departamento, y compre alguna participación solidaria. Pero lo hago porque mi función de utilidad incluye cosas que valen más que la casi segura pérdida de los 20 euros que pago por cada décimo (tampoco compro muchos).

Dicho lo cual, también en la lotería de Navidad, como en los juegos americanos, una inversión suficiente garantiza un premio. Un ejemplo trivial (más allá de invertir 2 millones de euros en comprar un décimo de cada número y asegurarse el Gordo, el segundo y todos los premios, y estar a la vez seguro de perder 600.000 euros) es invertir 200 euros en comprar 10 décimos de 10 números distintos, cada uno acabado en una cifra, con lo que me garantizo ganar un reintegro.

Si no consideramos que un reintegro sea un premio, podemos invertir 2000 euros en comprar 100 décimos que terminen respectivamente en 00, 01… así hasta 98 y 99. Con eso me aseguro una pedrea, 5 euros por euro invertido (¡además de 10 reintegros!), lo que ya es sin duda un premio. Si hago esto 28 años seguidos ganaré un premio de lotería 28 veces (luego, sí, es posible…), y con alta probabilidad perderé dinero.

P.- ¿Y cuando lo que queremos es ganar el Gordo?

A. Q.- Ahí si invierto 20.000 euros en comprar 1000 décimos de 1000 números distintos (puedo o no preocuparme de las terminaciones para asegurar reintegros o pedreas), mi probabilidad de ganar el Gordo un año dado pasa de 1 entre 100.000 a 1 entre 100. Pero hay más: si sigo esta estrategia 10 años seguidos la probabilidad de ganar el Gordo al menos uno de ellos se acerca al 10% (9,56% si quiero ser más preciso): ¡una inversión de 200.000 euros me da una probabilidad alta de ganar 400.000! (los otros premios que también ganaré los uso para pagar el IRPF). Es más, tengo una probabilidad de algo más del 4 por mil de ganar el Gordo dos (o más) veces en esos 10 años. Parece un buen negocio, pero sigue sin serlo: aunque tenga una probabilidad relativamente alta de ganarlo, en media perderé 60.000 de los 200.000 euros invertidos.

Así que, como los estudiantes del MIT, voy a buscar inversores. Con otras 99 personas compramos cada uno 1000 números, todos distintos, con lo que estamos en la situación inicial: hemos cubierto todas las posibilidades. Es posible (¿incluso probable?) que aquellos de los inversores que hayan ganado el Gordo, el segundo y hasta el tercero salgan en las noticias y algún medio titule “Un grupo de inversores diseña una estrategia que les ha permitido hacerse con los tres premios mayores de la lotería de Navidad”. Los otros 97, con nuestros reintegros, nuestras pedreas y nuestras pérdidas, caeremos en el olvido.

P.- ¿Este tipo de noticias ayudan al fomento del estudio de las Matemáticas o son contraproducentes?

A. Q.- Los juegos de azar están en el origen del estudio de la probabilidad y proporcionan numerosos ejemplos interesantes para poner a prueba nuestra intuición y desafiar ideas preconcebidas (que, con frecuencia, se presentan bajo la forma de sorprendentes paradojas). Por tanto, considero que artículos bien trabajados en los medios generalistas, como pueden ser el de Harper’s Magazine o (creo, porque no he podido ver los originales) los de The Philadelphia Inquirer, pueden despertar un cierto interés por entender cómo las matemáticas nos ayudan a desvelar ciertos “misterios” (sin necesidad de incluir notación precisa ni, por supuesto, teoremas, simplemente dando ideas).

Por el contrario, frases del estilo “terminaciones especialmente agraciadas”, que aparecen en numerosos artículos, no hacen más que crear confusión porque parecen indicar que hay algo en el procedimiento del sorteo de Lotería de Navidad que hace que unos números tengan más probabilidad de salir que otros. Se está cometiendo el error, bastante habitual y en parte entendible porque la probabilidad es una disciplina que desafía muchas veces la intuición, de pensar que un suceso aleatorio tiene que dar resultados uniformes. ¡Nada más lejos de la realidad! Lo más probable es que, en 100 sorteos de lotería, unas terminaciones salgan más veces que otras (lo que no podemos saber hasta que no se hacen los 100 sorteos es cuáles serán). De hecho, lo que debería extrañarnos sería que cada una de las terminaciones saliese exactamente 10 veces. Puede pasar, pero la probabilidad de una distribución así de uniforme es menos de 1/400 de la probabilidad de ganar el gordo jugando un único número.